Yapay Zekâ için Matematik · Ünite 3
Fonksiyonlar: Doğrusal, Üstel, Logaritmik ve Grafik Yorumlama
10 soruluk deneme testine geç ↓1. Fonksiyon kavramı
Fonksiyon, bir kümedeki her elemanı başka bir kümenin tek bir elemanına bağlayan kurallı eşlemedir: f: A → B. Girdilerin kümesine tanım kümesi (A), çıktıların seçildiği kümeye değer kümesi (B), fonksiyonun gerçekten ürettiği çıktıların kümesine görüntü kümesi denir. Bir bağıntının fonksiyon olması için tanım kümesindeki her elemanın bir ve yalnız bir çıktısı olmalı.
Örnek: f(x) = 3x − 2 için f(2) = 4, f(0) = −2, f(−1) = −5. Tersten soru: f(x) = 7 ise 3x − 2 = 7 → x = 3.
Üç gösterim: kural, tablo, grafik
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 7 | 10 | 13 | ? |
Çıktılar her adımda 3 artıyor; sabit fark fonksiyonun doğrusal olduğunu gösterir. Kural «3 ile çarp, bir sabit ekle»: x = 1'de 4 çıktığı için sabit 1 → f(x) = 3x + 1, boşluk f(5) = 16. Tablo belirli girdilerin çıktısını hızla verir; grafik ise fonksiyonun genel davranışını tek bakışta gösterir (nerede eksenleri kestiği, artıp artmadığı).
Birebir ve örten
- →Birebir: farklı girdiler farklı çıktı verir; hiçbir çıktı iki girdi tarafından paylaşılmaz. Simgeyle: f(x₁) = f(x₂) ise x₁ = x₂.
- →Örten: değer kümesindeki her eleman en az bir girdiye karşılık gelir; görüntü kümesi değer kümesinin tamamıdır.
- →Hem birebir hem örten fonksiyon birebir örten fonksiyondur ve yalnızca onların tersi tanımlanabilir.
- →Örnek: h(x) = x² tüm gerçek sayılarda birebir değildir, çünkü h(−2) = h(2) = 4. Bu yüzden orada tersi yoktur.
Bileşke ve ters fonksiyon
Bileşke: bir fonksiyonun çıktısı diğerine girdi olur, (f∘g)(x) = f(g(x)). Önce içteki çalışır. f(x) = 2x + 1, g(x) = x² için (f∘g)(x) = 2x² + 1 ama (g∘f)(x) = (2x + 1)²; (f∘g)(3) = 19. Yani genelde f∘g ≠ g∘f, sıra önemli.
Ters fonksiyon f⁻¹, dönüşümü geri alır: çıktıdan girdiyi bulur. f⁻¹(f(x)) = x. Bulmak için: y = f(x) yaz, x'i yalnız bırak, sonra x ile y'nin yerini değiştir. f(x) = 3x − 6 → x = (y + 6) / 3 → f⁻¹(x) = (x + 6) / 3, f⁻¹(3) = 3. Benzer şekilde f(x) = 2x + 1 için f⁻¹(x) = (x − 1) / 2.
2. Doğrusal fonksiyon, eğim ve orantı
Doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b biçimindedir ve grafiği bir doğrudur. Girdi 1 artınca çıktı her zaman aynı miktarda değişir, yani değişim hızı sabittir. İki parametresi var:
- →Eğim (a): birim girdi başına değişim; doğrunun ne kadar dik olduğu. a > 0 artan, a < 0 azalan, a = 0 yatay doğru. İki noktadan: a = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- →Sabit terim (b): x = 0 iken çıktı; doğrunun y eksenini kestiği nokta (0, b).
- →Taksi ücreti: açılış bedeli sabit terim, kilometre başı ücret eğim.
| Soru | Çözüm |
|---|---|
| (1, 2) ve (3, 8)'den geçen doğrunun eğimi | (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3 |
| Eğimi 2, (0, 5)'ten geçen doğru | b = 5 → f(x) = 2x + 5 |
| Kargo: 30 TL işlem + kg başına 8 TL, 5 kg kaç TL? | f(x) = 8x + 30 → f(5) = 70 TL |
| Sabit maliyet 2000 TL, birim maliyet 15 TL, 300 ürün | M(x) = 15x + 2000 → M(300) = 6500 TL |
Oran ve orantı
Oran, iki niceliğin bölünmesiyle yapılan karşılaştırmadır; aynı türden iki değer karşılaştırıldığı için çoğu zaman birimsizdir. İki büyüklük arasındaki sabit orana ölçek denir (harita, büyütülen görüntü). Orantı iki oranın eşitliğidir ve içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir: a/b = c/d ⇔ a·d = b·c. Örnek: x/15 = 4/5 → 5x = 60 → x = 12.
| Doğru orantı | Ters orantı | |
|---|---|---|
| Davranış | Biri artınca diğeri de artar | Biri artınca diğeri azalır |
| Sabit kalan | Oran: y / x = k | Çarpım: x · y = k |
| Grafik | Orijinden geçen doğru (eğimi k) | Eksenlere yaklaşan ama değmeyen eğri |
| Örnek | Alınan ürün ↔ ödenen para | İşçi sayısı ↔ iş süresi |
Musluk örneği: 6 musluk havuzu 4 saatte dolduruyorsa 8 musluk için 6 · 4 = 8 · t → t = 3 saat (ters orantı). Doğru ve ters orantıyı karıştırmak, kurulumu baştan yanlış yapar.
Bileşik orantı
Bir nicelik aynı anda birkaç niceliğe bağlıysa bileşik orantı kullanılır: doğru orantılı büyüklükler pay kısmına, ters orantılılar paydaya yazılır: y = k · x / z. k bilinen bir durumdan bulunur. Örnek: x = 4, z = 6 iken y = 8 → 8 = k · 4/6 → k = 12; x = 9, z = 4 için y = 12 · 9/4 = 27.
- →İşçi–gün: 12 işçi bir işi 15 günde bitiriyor → iş 180 işçi-gün. 6 gün sonra 3 işçi ayrılırsa: yapılan 72, kalan 108, 9 işçiyle 108 / 9 = 12 gün daha.
- →8 işçi günde 6 saatle bir duvarı 10 günde örüyor → bir duvar 480 işçi-saat. 2 duvar 960; 12 işçi × 8 saat = günde 96 → 10 gün.
3. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar
Gerçek hayatta değişim çoğu zaman sabit değil, mevcut büyüklükle orantılıdır: bakteri kültürü katlanarak çoğalır, radyoaktif madde belli aralıklarla yarıya iner. Tabanı sabit, üssü değişken olan fonksiyona üstel fonksiyon denir: f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1). a > 1 ise üstel büyüme, 0 < a < 1 ise üstel azalma.
- →Özel taban e ≈ 2,718 (doğal taban): sürekli büyümede ortaya çıkar, türev ve integralde işleri kolaylaştırır. Büyüme modeli: N(t) = N₀ · eʳᵗ.
- →f(x) = 2ˣ için f(0) = 1 (her sayının 0. kuvveti 1), f(3) = 8, f(−1) = 0,5.
- →100 bakteri her saat ikiye katlanıyor: N(t) = 100 · 2ᵗ → 3 saat sonra 800.
- →Her 6 saatte yarıya inen bir maddenin 12 saat (2 yarılanma) sonra (1/2)² = %25'i kalır.
Logaritmik fonksiyon üstel fonksiyonun tersidir: f(x) = logₐ x. Üstel fonksiyon üssü verince sonucu üretir, logaritma sonucu verince üssü bulur: a^(logₐ x) = x ve logₐ(aˣ) = x. 2ˣ = 16 denklemini çözmek «2'nin hangi kuvveti 16?» diye sormaktır: x = log₂ 16 = 4. Logaritma yalnızca pozitif sayılarda tanımlıdır.
| Kural | Örnek |
|---|---|
| Çarpım: log(a·b) = log a + log b | log₂ 48 + log₂ (1/3) − log₂ 2 = log₂ (48 · 1/3 / 2) = log₂ 8 = 3 |
| Bölüm: log(a/b) = log a − log b | log₃ 27 + log₃ 81 − log₃ 9 = 3 + 4 − 2 = 5 |
| Kuvvet: log(aⁿ) = n · log a | Üslü denklemde üs öne gelir, bilinmeyen bölmeyle bulunur |
| Kesirli üs | 27^(2/3) = 9, 4^(−1/2) = 1/2, 9^(1/2) = 3 |
- →Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği her zaman y = x doğrusuna göre simetriktir.
- →y = 2ˣ: (0, 1)'den geçer, hızla yükselir, yatay asimptotu y = 0 (sola gittikçe 0'a yaklaşır ama değmez).
- →y = log₂ x: (1, 0)'dan geçer, yavaş yükselir, düşey asimptotu x = 0. g(4) = 2.
Denklem çözme
- →Üslü denklem, 1. yol: tabanları eşitle. 4^(x+1) · 8^(x−1) = 16ˣ → 2^(2x+2) · 2^(3x−3) = 2^(4x) → 5x − 1 = 4x → x = 1.
- →2. yol: iki tarafın logaritmasını al. Her üslü denklemde işe yarar.
- →Değişken değiştirme: 2^(2x) − 5 · 2ˣ + 4 = 0'da 2ˣ = t → t² − 5t + 4 = 0 → t = 1 ya da 4 → x = 0 ya da 2.
- →Logaritmik denklem: üstel biçime çevir. log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 → x(x − 2) = 8 → x = 4 ya da −2.
Logaritma veri biliminde
Veri çok geniş bir aralığa yayılınca (bazı değerler minik, bazıları dev) model zorlanır. Logaritmik ölçekleme büyük değerleri sıkıştırır, küçükleri korur ve sağa çarpık dağılımı dengeler; bu yüzden yaygın bir ön işleme adımıdır.
| Sayfa görüntülenme | 10 | 100 | 1.000 | 10.000 | 100.000 |
|---|---|---|---|---|---|
| log₁₀ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Açıklık 100.000 − 10 = 99.990'dan 5 − 1 = 4'e iner ve değerler eşit aralıklı olur. Logaritma ayrıca çarpımı toplama çevirir: çok sayıda küçük olasılık çarpılınca sonuç bilgisayarın tutamayacağı kadar küçülür, logaritmaları toplanınca sayılar yönetilebilir kalır (sayısal kararlılık). Deprem şiddeti, ses düzeyi (desibel: 10 · log(I/I₀); oran 100 ise 20 dB) ve pH da logaritmik ölçeklerdir.
4. Fonksiyon grafiklerini yorumlama
- →Grafikteki her nokta bir (girdi, çıktı) çiftidir; eksenlerin kesiştiği nokta orijin.
- →Grafiğin x eksenini kestiği yer çıktının 0 olduğu girdidir: fonksiyonun kökü (sıfırı). f(x) = x − 2'nin kökü 2.
- →y eksenini kestiği yer x = 0'daki başlangıç değeri: f(x) = x − 2 için (0, −2). f(x) = x² − 4 iki kökü (±2) ve (0, −4) noktası.
- →Eğri yükseliyorsa artan, alçalıyorsa azalan, yataysa sabit.
- →Artıştan azalışa geçilen tepe yerel maksimum, azalıştan artışa geçilen çukur yerel minimum. f(x) = x³ − 3x'te (−1, 2) yerel maks, (1, −2) yerel min.
- →Dönüm noktası: eğrinin kavisinin yön değiştirdiği nokta. S biçimli kullanıcı sayısı eğrisinde büyümenin en hızlı olduğu an; öncesinde hızlanır, sonrasında yavaşlar.
| Fonksiyon | Kökler | Uç nokta | Davranış |
|---|---|---|---|
| x² − 2x − 3 | −1 ve 3 | Minimum (1, −4); tepe x = −b / 2a = 1 | x < 1 azalan, x > 1 artan |
| −x² + 4x | 0 ve 4 | Maksimum (2, 4) | x < 2 artan, x > 2 azalan |
| x³ − 6x² + 9x | 0 ve 3 (3 katlı kök) | Yerel maks (1, 4), yerel min (3, 0) | Artan, 1–3 arası azalan, sonra artan |
Simetri: çift ve tek fonksiyon
| Tür | Cebirsel koşul | Grafik | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift fonksiyon | f(−x) = f(x) | y eksenine göre simetrik (ayna) | x⁴ − 3x² |
| Tek fonksiyon | f(−x) = −f(x) | Orijine göre simetrik (180° döndürünce çakışır) | x³ − x |
| Ne çift ne tek | İkisi de sağlanmaz | Simetri yok | x² + x (tepesi (−0,5; −0,25), y ekseninde değil) |
Çift kuvvetler işaret değişiminden etkilenmez, tek kuvvetler işaret değiştirir; f(−x)'i hesaplayıp karşılaştırmak yeter. Simetri bilinirse grafiğin yarısını çizmek yeterli olur.
Yapay zekânın fonksiyonları
Yalnızca doğrusal işlemlerden oluşan bir ağ karmaşık ilişkileri öğrenemez. Bu yüzden her katmandan sonra doğrusal olmayan bir aktivasyon fonksiyonu uygulanır.
| Fonksiyon | Çıktı aralığı | Artısı | Zayıf yanı |
|---|---|---|---|
| Sigmoid: 1 / (1 + e⁻ˣ) | 0 … 1 | Olasılık gibi okunur, sınıflandırmada kullanılır | Doygunluk |
| tanh: (eˣ − e⁻ˣ) / (eˣ + e⁻ˣ) | −1 … 1 | Çıktı ortalaması sıfıra yakın, öğrenmeyi kolaylaştırır | Yine doygunluk |
| ReLU: max(0, x) | 0 … ∞ | Çok basit ve hızlı, doygunluğu büyük ölçüde azaltır; derin ağlarda çok tercih edilir | Ölü nöron |
- →Doygunluk: girdi çok büyük ya da çok küçükken eğim neredeyse sıfır olur; küçük eğim küçük güncelleme demek, öğrenme yavaşlar. Derin ağlarda belirginleşir.
- →Ölü nöron: ReLU'da bazı nöronlar sürekli 0 verip öğrenmeyi bırakabilir. Sızdıran ReLU negatif girdilere küçük bir eğim vererek nöronun tamamen susmasını önler.
- →Tek bir en iyi aktivasyon yoktur; seçim probleme ve mimariye bağlıdır. ReLU(−4) = 0, ReLU(3) = 3.
Kendini test et!
Cevabı görmek için soruya dokun.
1.f(x) = 3x ve g(x) = x − 2 ise (f∘g)(5) kaçtır?
✓ g(5) = 3, f(3) = 9.
2.Bir fonksiyonun tersinin tanımlı olması için ne gerekir?
✓ Birebir ve örten olması.
3.(2, 1) ve (5, 13) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
✓ (13 − 1) / (5 − 2) = 4.
4.x/6 = 10/15 orantısında x kaçtır?
✓ 15x = 60 → x = 4.
5.log₃ 81 kaçtır?
✓ 3⁴ = 81 olduğu için 4.
6.f(x) = x³ + 2x çift mi, tek mi?
✓ f(−x) = −x³ − 2x = −f(x) → tek; grafiği orijine göre simetrik.
Deneme testi
Sınavda çıkabilecek türden 10 soru. Bir şık seç; doğru cevap ve açıklaması hemen çıkar.
1.f(x) = 4x − 7 fonksiyonu için f(3) değeri kaçtır?
2.f(x) = 4x + 8 fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
3.f(x) = 5 / (x + 3) fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?
4.f(x) = −3x + 4 doğrusal fonksiyonu için hangisi doğrudur?
5.5 özdeş makine bir siparişi 12 saatte bitiriyor. Aynı siparişi 6 makine kaç saatte bitirir?
6.Başlangıçta 50 birim olan bir kültür her saat ikiye katlanıyor. 4 saat sonra kaç birim olur?
7.log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
8.Değerleri 10 ile 1.000.000 arasında değişen sağa çarpık bir değişkene onlu logaritma uygulamanın temel amacı nedir?
9.Bir modelin eğitimde hata grafiği önce hızla azalıp sonra yataylaşıyor, bir noktadan sonra yeniden yükseliyor. Yeniden yükselme neye işaret edebilir?
10.Sigmoid fonksiyonu için σ(0) değeri kaçtır?
Bu not ders kitabının yerine geçmez; konu kendi cümlelerimizle, yapay zekâ desteğiyle özetlendi.