Yapay Zekâ için Matematik · Ünite 2

Mantık, Kümeler ve Bağıntılar

1. Önerme nedir?

Önerme: doğru mu yanlış mı olduğu kesin olarak söylenebilen bildirim cümlesi. Bir önerme ya doğrudur ya yanlış, ikisi birden olamaz. Bu değere doğruluk değeri denir: D / Y ya da bilgisayardaki gibi 1 / 0. Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir.

Tek yargı bildiren, bağlaç içermeyen önermeye basit önerme, bağlaçlarla birleştirilmiş olana bileşik önerme denir. «6 çifttir ve 6, 3'e bölünür» bileşik bir önermedir.

2. Mantıksal bağlaçlar

Koşullu önerme (p ⇒ q)

p'ye hipotez, q'ya hüküm denir. Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlışken yanlıştır. Bunu bir söz gibi düşün: «Sınavdan yüksek alırsan seni tebrik ederim.» Söz sadece yüksek aldığın hâlde tebrik edilmezsen bozulur. Yüksek almadıysan söz bozulmuş sayılmaz.

Çift yönlü koşullu (p ⇔ q): p ⇒ q ve q ⇒ p birlikte. «Gerekli ve yeterli koşul» diye de okunur. Örnek: bir tam sayının karesi çifttir ⇔ sayının kendisi çifttir. Doğruluğunu göstermek için iki yönü ayrı ayrı kanıtlamak gerekir.

Programlamada: Python'da not, and, or. Bir e-posta filtresi «(kuşku skoru yüksek ∧ bağlantı içeriyor) ∧ ¬(gönderen güvenilir)» doğruysa iletiyi işaretler. Kural tabanlı sistemler böyle çalışır; öğrenen modellerde de veri süzme ve kararları denetlemede bu bağlaçlar kullanılır.

3. Doğruluk tabloları

Bileşik önermenin, basit önermelerin bütün olası değerleri için aldığı sonucu gösteren tablo. n basit önerme varsa tablo 2ⁿ satır: 2 önerme → 4, 3 önerme → 8 satır. İlk sütunun üst yarısı 1, alt yarısı 0 yazılır; her sonraki sütunda değişim sıklığı ikiye katlanır. En içteki işlemden başlanıp ara sütunlarla dışa doğru gidilir.

Örnek: (p ∨ q) ∧ ¬q için önce ¬q ve p ∨ q sütunları, sonra ikisinin «ve»si: sonuç sütunu 0, 1, 0, 0. Yani yalnızca p doğru, q yanlışken doğru.

Totoloji, çelişki, denklik

• →Totoloji: son sütun hep 1. Örnek p ∨ ¬p (ya p ya değili mutlaka doğru).
• →Çelişki: son sütun hep 0. Örnek p ∧ ¬p. Bir sistemin kuralları çelişki üretiyorsa hiçbir durumda birlikte sağlanamaz.
• →Mantıksal denklik (≡): iki önermenin tablolarındaki bütün satırlar aynı. Karmaşık bir koşulu sadeleştirmeye yarar.
• →((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q bir totolojidir: «p ise q» doğru ve p doğruysa q de doğrudur. En temel akıl yürütme kalıbı.

Mantık kapıları ve XOR sorunu

Her bağlacın bir donanım karşılığı var: DEĞİL, VE, VEYA, ÖZEL VEYA (XOR) kapıları. Bilgisayarın toplama ve karşılaştırma işlemleri bu kapıların birleşimidir.

Tek katmanlı bir yapay sinir hücresi VE ile VEYA'yı öğrenebilir, çünkü 1 ve 0 noktaları düzlemde tek bir doğruyla ayrılır (doğrusal ayrılabilirlik). Dışlayan veya (XOR) ise böyle ayrılamaz; bu yüzden tek katmanlı yapı XOR'u üretemez (Minsky ve Papert, 1969).

4. Kümeler

Küme: iyi tanımlanmış nesneler topluluğu. Kümeler büyük (A, B), elemanlar küçük harfle yazılır; x ∈ A «x, A'nın elemanı», x ∉ A «değil» demek.

• →Listeleme: A = {2, 4, 6, 8}. Sıra önemsiz, aynı eleman iki kez yazılmaz.
• →Ortak özellik: A = {x ∈ ℕ : x çift ve 0 < x < 10}. Eleman çoksa daha pratik.
• →Venn şeması: kapalı eğri içinde noktalar.

• →Evrensel küme (E): üzerinde çalışılan her şeyi kapsayan küme.
• →Boş küme (∅): elemanı yok; her kümenin alt kümesi.
• →Alt küme (A ⊆ B): A'nın her elemanı B'de de var. Öz alt küme (A ⊊ B): ayrıca B'de A'da olmayan en az bir eleman var.
• →Eşitlik: A ⊆ B ve B ⊆ A ise A = B. {1, 2} = {2, 1}.
• →Alt küme ilişkisi yansıyan (A ⊆ A), ters simetrik ve geçişkendir (A ⊆ B, B ⊆ C → A ⊆ C).
• →Kuvvet kümesi P(A): A'nın bütün alt kümeleri. n elemanlı kümenin 2ⁿ alt kümesi var. P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

Küme işlemleri = mantık bağlaçları

• →Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir (A ∩ B = ∅).
• →A \ B = A ∩ B′. A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
• →Örnek: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, A ∩ B = {2, 4}, A \ B = {1, 3, 5}, A △ B = {1, 3, 5, 6, 8}.

Özellikler mantık denkliklerinin aynısı: değişme, birleşme, dağılma, tek kuvvet; A ∪ A′ = E, A ∩ A′ = ∅, (A′)′ = A; De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ ve (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. «Python veya SQL bilmeyenler» = «Python bilmeyen ve SQL bilmeyenler».

Eleman sayısı ve kartezyen çarpım

s(A) = A'nın eleman sayısı, s(∅) = 0. Birleşimin eleman sayısı s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B): ortak elemanlar iki kez sayılmasın diye kesişim çıkarılır. Örnek: 30 kişide 18 Python, 15 SQL, 7 kişi ikisini de biliyor → en az birini bilen 18 + 15 − 7 = 26, hiçbirini bilmeyen 30 − 26 = 4.

Kartezyen çarpım: A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}, bütün sıralı ikililer. Sıra önemli: (a, b) ≠ (b, a), genelde A × B ≠ B × A. Eleman sayısı çarpılır: s(A × B) = s(A) · s(B). A = {a, b}, B = {1, 2, 3} → 6 ikili.

5. Bağıntılar

Bağıntı (β): A × B kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesi. Kartezyen çarpım bütün eşleşmeleri içerir; bağıntı yalnızca bir kurala uyanları seçer. (a, b) ∈ β yerine aβb de yazılır. A = B ise «A üzerinde bir bağıntı» denir.

• →Gösterimler: liste, ok şeması, yönlü graf (elemanlar düğüm, ikililer ok), bağıntı (komşuluk) matrisi (ikili varsa 1, yoksa 0). Bilgisayarda en çok matris kullanılır.
• →Tanım kümesi T(β): ikililerin birinci bileşenleri. Görüntü kümesi G(β): ikinci bileşenler.
• →Ters bağıntı β⁻¹: her ikilinin bileşenleri yer değiştirir. (β⁻¹)⁻¹ = β.
• →Örnek: β = {(1, a), (2, a), (3, b)} → T = {1, 2, 3}, G = {a, b}, β⁻¹ = {(a, 1), (a, 2), (b, 3)}.

Dört özellik

• →Denklik sınıfı [a]: a ile bağıntılı bütün elemanlar. Sınıflar boş değildir, ya eşit ya ayrıktır ve birleşimleri tüm kümeyi verir → kümeyi ayrık parçalara böler (parçalanma).
• →Örnek: «a − b, 3'e bölünür» → üç sınıf: [0] = {…, −3, 0, 3, 6…}, [1] = {…, −2, 1, 4…}, [2] = {…, −1, 2, 5…}.
• →Denklik benzerliğe göre gruplar, sıralama ise öncelik kurar. Her eleman çifti karşılaştırılabiliyorsa tam sıralama.

Fonksiyon

A'dan B'ye bir bağıntıda A'nın her elemanı B'nin bir ve yalnız bir elemanıyla eşleşiyorsa bu bağıntı fonksiyondur. Ok şemasında A'daki her düğümden tam olarak bir ok çıkar: boşta kalan da, iki ok çıkan da olmaz. Makine öğrenmesi modelleri fonksiyondur: aynı girdiye her seferinde tek bir çıktı vermelidir.

A = {1, 2, 3}, B = {a, b}: {(1, a), (2, a), (3, b)} fonksiyondur (iki elemanın aynı yere gitmesi sorun değil). {(1, a), (1, b), (2, a)} değildir: 1'den iki ok çıkıyor, 3'ten hiç çıkmıyor.

Bu not ders kitabının yerine geçmez; konu kendi cümlelerimizle, yapay zekâ desteğiyle özetlendi.